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Analyse I, partie 1

Concepts de base de l'analyse réelle et introduction aux nombres réels.

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Analyse I, partie 1

Concepts de base de l'analyse réelle et introduction aux nombres réels.

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Vous savez calculer la valeur de sin(π/4)? L'identité ln(xy)=ln(x)+ln(y) vous paraît familière? Dans le prélude nous rappelons et approfondissons quelques notions de ce type, en particulier les fonctions trigonométriques sin, cos et tan et leurs propriétés, le concept des fonctions réciproques telles que exp et ln, certaines règles de calcul concernant les puissances, les logarithmes et les racines, les ensembles et les fonctions. Après nous discutons les systèmes de nombres: basé sur la notion "intuitive" des entiers naturels N={0,1,2,3,...}, nous définissons d'une manière rigoureuse les nombres rationnels Q. Nous terminons la discussion des nombres rationnels Q. Ce faisant, nous remarquons que certaines équations très simples, telles que x^2=2, n'admettent pas de solution dans Q. Ceci est une des motivations pour introduire un système de nombres plus grand: les nombres réels R. Nous donnons la définition axiomatique des nombres réels et étudions leurs propriétés.

At a glance

  • Institution: EPFLx
  • Subject: Math
  • Level: Introductory
  • Prerequisites:

    Connaissances de base concernant :

    • Les entiers, les nombres rationnels, connaissance rudimentaire des nombres réels.
    • Concept de fonction
    • Connaitre quelques graphes de fonctions
    • Puissances de x, sin(x), cos(x), exponentielle et logarithme.
    • Un peu de logique.

    Tous ces concepts seront revisités en détail. Le prélude permet de faire la transition.

  • Language: Français
  • Video Transcript: Français

What you'll learn

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  • Concept des ensembles
  • Produit cartésien
  • Classes d’équivalence
  • Concept des nombres
  • Les nombres rationnelles
  • Axiomes des nombres réels
  • Concept de fonction
  • Concept de la fonction réciproques

Prélude ( = Chapitre ‐1 )

Fonctions élémentaires (exemples)

Paires de fonctions réciproques (exemples)

Puissances, racines, logarithmes (règles de calcul)

Chapitre 0 : Notions de base

0.1 Ensembles

0.2 Classes d'équivalence

0.3 Fonctions, concepts de base

0.4 Fonctions, concepts additionnels

0.5 Les entiers

0.6 Notations et identités

0.7 Les nombres rationnels, concepts de base

Chapitre 1 : Les nombres réels R

1.1 Les nombres rationnels, propriétés

1.2 Introduction axiomatique de R

1.3 Infimum

1.4 Supremum

1.5 Nombre réels, sqrt(2)

1.6 Sous‐ensembles de R

1.7 Valeur absolue

1.8 Propriétés additionnelles de R

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